完全平方数是什么时候学(完全平方数是什么)

发布时间:2024-05-26 08:01:20 编辑: 来源:
导读 哈喽,大家好~~~我是小编田甜,关于完全平方数是什么时候学,完全平方数是什么这个很多人还不知道,那么现在让田甜带着大家一起来看看吧!完...

哈喽,大家好~~~我是小编田甜,关于完全平方数是什么时候学,完全平方数是什么这个很多人还不知道,那么现在让田甜带着大家一起来看看吧!

完全平方数九章出版社提供(一)完全平方数的性质  一个数如果是另一个整数的完全平方,那麼我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。

例如:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…  观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:  性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

  性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。

  证明 奇数必为下列五种形式之一:10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后,得  (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1  (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9  (10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5  (10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9  (10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。

  性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。

证明 已知=10k+6,证明k为奇数。

因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,於是可设m=10n+4或10n+6。

则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k为奇数。

推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那麼这个数一定不是完全平方数。

  推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。

性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1     (2k)=4性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。

在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。

性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。

因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1, 3m+2。

平方后,分别得(3m)=9=3k(3m+1)=9+6m+1=3k+1(3m+2)=9+12m+4=3k+1同理可以得到:性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。

性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

除了上面关於个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。

例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。

如果再把13的各位数字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。

下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。

我们可以得到下面的命题:一个数的数字和等於这个数被9除的余数。

下面以四位数为例来说明这个命题。

设四位数为,则 = 1000a+100b+10c+d     = 999a+99b+9c+(a+b+c+d)     = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数。

对於n位数,也可以仿此法予以证明。

关於完全平方数的数字和有下面的性质:  性质9:完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式,而(9k)=9(9)+0(9k±1)=9(9±2k)+1(9k±2)=9(9±4k)+4(9k±3)=9(9±6k)+9(9k±4)=9(9±8k+1)+7除了以上几条性质以外,还有下列重要性质:  性质10:为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

证明 充分性:设b为平方数,则==(ac)必要性:若为完全平方数,=,则  性质11:如果质数p能整除a,但不能整除a,则a不是完全平方数。

证明 由题设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完全平方数。

  性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若

性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

(二)重要结论1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数; 2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数;3.个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数;4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数;5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数;6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数;7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数;8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

(三)范例  [例1]:一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。

  解:设此自然数为x,依题意可得(m,n为自然数)(2)-(1)可得  ∴n>m(但89为质数,它的正因数只能是1与89,於是。

解之,得n=45。

代入(2)得。

故所求的自然数是1981。

  [例2]:求证:四个连续的整数的积加上1,等於一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。

  分析 设四个连续的整数为,其中n为整数。

欲证是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

  证明 设这四个整数之积加上1为m,则              而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。

这就证明了m是一个奇数的平方。

  [例3]:求证:11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。

  分析 形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即 或 在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

  证明 若,则因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

若,则因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。

综上所述,不可能是完全平方数。

  另证 由为奇数知,若它为完全平方数,则只能是奇数的平方。

但已证过,奇数的平方其十位数字必是偶数,而十位上的数字为1,所以不是完全平方数。

  [例4]:试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数。

  证明      =     =++1     =4+8+1     =4()(9+1)+8+1     =36 ()+12+1     =(6+1)即为完全平方数。

[例5]:用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数?解:设由300个2和若干个0组成的数为A,则其数字和为6003|600 ∴3|A此数有3的因数,故9|A。

但9|600,∴矛盾。

故不可能有完全平方数。

[例6]:试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。

解:设此数为此数为完全平方,则必须是11的倍数。

因此11|a + b,而a,b为0,1,2,9,故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。

直接验算,可知此数为7744=88。

[例7]:求满足下列条件的所有自然数:(1)它是四位数。

(2)被22除余数为5。

(3)它是完全平方数。

解:设,其中n,N为自然数,可知N为奇数。

11|N - 4或11|N + 4或k = 1  k = 2  k = 3 k = 4 k = 5  所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

  [例8]:甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。

为了平均分配,甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?  解:n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数。

如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6。

所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。

  [例9]:矩形四边的长度都是小於10的整数(单位:公分),这四个长度数可构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这四位数是一个完全平方数,求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。

  解:设矩形的边长为x,y,则四位数∵N是完全平方数,11为质数 ∴x+y能被11整除。

又 ,得x+y=11。

∴∴9x+1是一个完全平方数,而,验算知x=7满足条件。

又由x+y=11得。

  [例10]:求一个四位数,使它等於它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的。

  解:设符合题意的四位数为,则,∴为五位数,为三位数,∴。

经计算得,其中符合题意的只有2401一个。

  [例11]:求自然数n,使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。

  解:显然,。

为了便於估计,我们把的变化范围放大到,於是,即。

∵,∴。

另一方面,因已知九个数码之和是3的倍数,故及n都是3的倍数。

这样,n只有24,27,30三种可能。

但30结尾有六个0,故30不合要求。

经计算得故所求的自然数n = 27。

(四)讨论题1.(1986年第27届IMO试题)设正整数d不等於2,5,13,求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b,使得ab -1不是完全平方数。

2.求k的最大值。

本文分享完毕,希望对大家有所帮助哦。

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